평균 (Average, Mean)

 

통계하면 가장 많이 들어보는 것이 평균이다. 여러 분야에서 가장 흔하게 쓰이는 지표이기도 하다. 일반적으로 평균이라는 단어를 들었을때 사람들이 떠올리는 평균의 정의는 산술평균(Arithmatic mean) 이다. 하지만 평균에도 여러 종류가 있다. 산술평균, 기하평균, 조화평균 등. 

 

산술 평균 (Arithmatic Mean)

데이터의 총 합을 데이터의 갯수로 나누어 계산하는 평균이다. 계산법은 아래와 같다.

 

$ \overline{X} = \frac{x_{1} + ... + x_{n}}{n} $

 

여기서 n은 데이터의 갯수이며 $ x_{1}, ... , x_{n} $ 은 각 데이터 값이다. 여기까지는 많이들 아는 평균의 계산법이다.

 

 

기하 평균 (Geometric Mean)

기하 평균의 계산법은 조금 특이하다. 기하평균을 계산하기 위해서는 평균을 계산하고자 하는 데이터 값들을 곱해주고, 데이터 값의 숫자만큼 루트(root)를 씌운다. 기하평균을 계산하는 데 필요한 데이터 값들은 전부 양수여야 한다. 수식은 아래와 같다.

 

$ \overline{X_{geometric}} = \sqrt[n]{x_{1} * ... x_{n}} $

 

덧: 기하평균은 각 데이터 값들의 로그(log)값의 산술평균과도 동일하다.

 

그러면 이런 기하평균은 어디에 쓰이는 것일까? 

 

예를 들어, 내가 자산을 주식에 투자했고, 연간 내 자산의 상승률이 아래와 같다고 치자. 그리고 나는 2017년부터 2019년까지 내가 평균적으로 자산이 얼마나 증가했는지 알고 싶다. 위의 산술평균식대로 계산을 하면 3년 투자의 평균값이 $ \frac{0.035 + 0.042 + 0.016}{3} = 3.1% $ 가 된다. 반면 기하평균을 이용해 계산한다면 대략 2.87%가 된다. 이렇듯 기하평균은 무언가의 성장률이나 상승률의 평균을 계산할 때 사용한다. 

연도	상승률
2017	3.5%
2018	4.2%
2019	1.6%

 

조화 평균 (Harmonic Mean)

조화 평균의 계산식은 아래와 같다. 

 

$ \overline{X_{harmonic}} = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + ... + \frac{1}{x_{n}}} $

 

조화 평균은 속도의 평균을 구할 때 가장 자주 사용된다. 예를 들어, 내가 집에서 회사까지 아침에 출근 할 때는 비가 내려서 길이 막혀 시속 30킬로로 운전을 했으나, 돌아오는 길에는 날씨가 맑아져 시속 60킬로로 돌아왔다. 그렇다면 나의 출퇴근 평균 속도는

 

$ \frac{2}{\frac{1}{30} + \frac{1}{60}} = 40 $ 이 된다.